小学数学奥数基础教材(三年级)--20

发布于:2021-07-25 23:26:02

小学数学奥数基础教程(三年级 小学数学奥数基础教程 三年级) 三年级
本教程共 30 讲

第 20 讲 乘,除法的运算律和性质 我们在第 1 讲中介绍了加,减法的运算律和性质,利用它们可以简化 一些加,减法算式的计算.本讲将介绍在巧算中常用的一些乘,除法的运 算律和性质,其目的也是使一些乘,除法计算得到简化. 1.乘法的运算律 乘法交换律:两个数相乘,交换两个数的位置,其积不变.即 a×b=b×a. 其中,a,b 为任意数. 例如,35×120=120×35=4200. 乘法结合律:三个数相乘,可以先把前两个数相乘后,再与后一个数 相乘,或先把后两个数相乘后,再与前一个数相乘,积不变.即 a×b×c=(a×b)×c=a×(b×c). 注意: (1)这两个运算律中数的个数可以推广到更多个的情形. 即多个数连乘中, (1) 可以任意交换其中各数的位置,积不变;多个数连乘中,可以任意先把几 个数结合起来相乘后,再与其它数相乘,积不变. (2)这两个运算律常一起并用.例如,并用的结果有 (2) a×b×c=b×(a×c)等. 例 1 计算下列各题: (1)17×4×25; (2) (2)125×19×8; (1) (3)125×72; (4) (4)25×125×16. (3) 分析:由于 25×4=100,125×8=1000,125×4=500,运用乘法交换 律和结合律,在计算中尽量先把 25 与 4,把 125 与 8 或 4 结合起来相乘 后,再与其它数相乘,以简化计算.

解: (2)125×19×8 (2) =(125×8)×19 =1000×19 =19000; (3)125×72 (3) =125×(8×9) =(125×8)×9 =1000×9 =9000; (4)25×125×16 或 (4) =25×125×2×8 =(25×2)×(125×8) =50×1000 =50000, 25×125×16 =25×125×4×4 =(25×4)×(125×4) =100×500 =50000. 乘法分配律: 两个数之和(或差)与一数相乘, 可用此数先分别乘和(或 差)中的各数,然后再把这两个积相加(或减).即 (a+b)×c=a×c+b×c, (a-b)×c=a×c-b×c.

例 2 计算下列各题: (1)125×(40+8); (2) (2)(100-4)×25; (1) (3)2004×25; (4) (4)125×792. (3) 解: (1)125×(40+8) (1) =125×40+125×8 =5000+1000 =6000; (2)(100-4)×25 (2) =100×25-4×25 =2500-100 =2400; (3)2004×25 (3) =(2000+4)×25 =2000×25+4×25 =50000+100 =50100; (4)125×792 (4) =125×(800-8) =125×800-125×8 =(125×8)×100-1000 =1000×100-1000 =1000×(100-1) =99000.

2.除法的运算律和性质 商不变性质:被除数和除数乘(或除)以同一个非零数,其商不变.即 a÷b=(a×n)÷(b×n)(n≠0) =(a÷m)÷(b÷m)(m≠0) 例 3 计算: (1)425÷25;(2) (1) (2)3640÷70. (2) 解: (1)425÷25 (1) =(425×4)÷(25×4) =1700÷100 =17; (2)3640÷70 (2) =(3640÷10)÷(70÷10) =364÷7 =52. (2)两数之和(或差)除以一个数,可以用这两个数分别除以那个数,然后 (2) 再求两个商的和(或差).即 (a±b)÷c=a÷c±b÷c. 例如,(8+4)÷2=8÷2+4÷2, (9-6)÷3=9÷3-6÷3. 此性质可以推广到多个数之和(或差)的情形.例如 (1000-688-136)÷8 =1000÷8-688÷8-136÷8 =125-86-17=22.

(3)在连除中,可以交换除数的位置,商不变.即 (3) a÷b÷c=a÷c÷b. 在这个性质中,除数的个数可以推广到更多个的情形.例如, 168÷7÷4÷3=168÷3÷4÷7=…… 例 4 计算下列各题: (1)(182+325)÷13; (1) (2)(2046-1059-735)÷3; (2) (3)775÷25; (3) (4)2275÷13÷5. (4) 解:(1)(182+325)÷13 (1) =182÷13+325÷13 =14+25 =39; (2)(2046-1059-735)÷3 (2) =2046÷3-1059÷3-735÷3 =682-353-245 =84; (3)775÷25 (3) =(700+75)÷25 =700÷25+75÷25 =28+3=31; (4)2275÷13÷5 (4) =2275÷5÷13 =455÷13

=35. 3.乘,除法混合运算的性质 (1)在乘,除混合运算中,被乘数,乘数或除数可以连同运算符号一起交 (1) 换位置.例如, a×b÷c=a÷c×b=b÷c×a. (2)在乘,除混合运算中,去掉或添加括号的规则去括号情形: (2) 括号前是"×"时,去括号后,括号内的乘,除符号不变.即 a×(b×c)=a×b×c, a×(b÷c)=a×b÷c. 括号前是"÷"时,去括号后,括号内的"×"变为"÷","÷" 变为"×".即 a÷(b×c)=a÷b÷c, a÷(b÷c)=a÷b×c. 添加括号情形: 加括号时,括号前是"×"时,原符号不变;括号前是"÷"时,原 符号"×"变为"÷","÷"变为"×".即 a×b×c=a×(b×c), a×b÷c=a×(b÷c), a÷b÷c=a÷(b×c), a÷b×c=a÷(b÷c). (3)两个数之积除以两个数之积,可以分别相除后再相乘.即 (3) (a×b)÷(c×d) =(a÷c )×(b÷d) =(a÷d)×(b÷c). 上面的三个性质都可以推广到多个数的情形.

例 5 计算下列各题: (1)136×5÷8 (1) =136÷8×5 =17×5=85; (2)4032÷(8×9) (2) =4032÷8÷9 =504÷9=56; (3)125×(16÷10) (3) =125×16÷10 =256×4 (4)2560÷(10÷4) (4) =2560÷10×4 =1024; (5)2460÷5÷2 (5) =2460÷(5×2) =2460÷10 =246; (6)527×15÷5 (6) =527×(15÷5) =527×3 =1581; (7)(54×24)÷(9×4) (7) =(54÷9)×(24÷4) = 6×6=36.

练* 20 用简便方法计算下列各题. 1.(1) (1)12×4×25;(2) (2)125×13×8;(3) (3)125×56;(4) (4)25×32×125. (1) (2) (3) (4) 2.(1) (1)125×(80+4);(2) (2)(100-8)×25;(3) (3)180×125;(4) (4)125×88. (1) (2) (3) (4) 3.(1) (1)1375÷25;(2) (2)12880÷230. (1) (2) 4.(1) (1)(128+1088)÷8; (1) (2)(1040-324-528)÷4; (2) (3)1125÷125; (3) (4)4505÷17÷5. (4) 5.(1) (1)384×12÷8; (1) (2)2352÷(7×8); (2) (3)1200×(4÷12); (3) (4)1250÷(10÷8); (4) (5)2250÷75÷3; (5) (6)636×35÷7; (6) (7)(126×56)÷(7×18). (7)

答案与提示练* 20 练* 1.(1) (1)1200;(2) (2)13000;(3) (3)7000;(4) (4)100000. (1) (2) (3) (4) 2.(1) (1)10500;(2) (2)2300;(3) (3)22500;(4) (4)11000. (1) (2) (3) (4) 3.(1) (1)55;(2) (2)56. (1) (2) 4.(1) (1)152;(2) (2)47;(3) (4) (3)9;(4) (4)53. (1) (2) (3) 5.(1) (1)576;(2) (2)42;(3) (3)400;(4) (4)1000; (1) (2) (3) (4) (5)10;(6) (6)3180;(7) (7)56. (5) (6) (7)


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