2011届高考数学复*好题精选-函数的奇偶性

发布于:2021-07-25 22:31:46

函数的奇偶性 题组一 函数的奇偶性的判定 1.已知 y=f(x)是定义在 R 上的奇函数,则下列函数中为奇函数的是 ①y=f(|x|);②y=f(-x);③y=xf(x);④y=f(x)+x. A.①③ B.②③ C.①④ D.②④ () 解析:由奇函数的定义验证可知②④正确,选 D. 答案:D 2.(2010·长郡模拟)已知二次函数 f(x)=x2-ax+4,若 f(x+1)是偶函数,则实数 a 的值为 A.-1 B.1 C.-2 D.2 () 解析:∵f(x)=x2-ax+4, ∴f(x+1)=(x+1)2-a(x+1)+4 =x2+2x+1-ax-a+4 =x2+(2-a)x+5-a, f(1-x)=(1-x)2-a(1-x)+4 =x2-2x+1-a+ax+4 =x2+(a-2)x+5-a. ∵f(x+1)是偶函数, ∴f(x+1)=f(-x+1), ∴a-2=2-a,即 a=2. 答案:D 3.(2009·浙江高考)若函数 f(x)=x2+ax(a∈R),则下列结论正确的是 A.?a∈R,f(x) 在(0,+∞)上是增函数 B.?a∈R,f(x)在(0,+∞)上是减函数 C.?a∈R,f(x)是偶函数 D.?a∈R,f(x)是奇函数 () 解析:当 a=16 时,f(x)=x2+1x6,f′(x)=2x-1x62 , 令 f′(x)>0 得 x>2. ∴f(x)在(2,+∞)上是增函数,故 A、B 错. 当 a=0 时,f(x)=x2 是偶函数,故 C 正确. D 显然错误,故选 C. 答案:C 题组二 函数奇偶性的应用 4.已知函数 f (x)=ax4+bcosx-x,且 f (-3)=7,则 f (3)的值为 () A.1 B.-7 C.4 D.-10 解析:设 g(x)=ax4+bcosx,则 g(x)=g(-x).由 f (-3)=g(-3)+3,得 g(-3)=f(-3) -3=4,所以 g(3)=g(-3)=4,所以 f (3)=g(3)-3=4-3=1. 答案:A 5.已知 f(x)在 R 上是奇函数,且满足 f(x+4)=f(x),当 x∈(0,2)时,f(x)=2x2,则 f(7)=( ) A.-2 B.2 C.-98 D.98 解析:由 f(x+4)=f(x),得 f(7)=f(3)=f(-1), 又 f(x)为奇函数,∴f(-1)=-f(1), f(1)=2×12=2,∴f(7)=-2.故选 A. 答案:A 6.设函数 f(x)(x∈R)为奇函数,f(1)=12,f(x+2)=f(x)+f(2),则 f(5)= 5 A.0 B.1 C.2 D.5 解析:由 f(1)=12, () 对 f(x+2)=f(x)+f(2), 令 x=-1, 得 f(1)=f(-1)+f(2). 又∵f(x) 为奇函数,∴f(-1)=-f(1). 于是 f(2)=2f(1)=1; 令 x=1,得 f(3)=f(1)+f(2)=32, 于是 f(5)=f(3)+f(2)=52. 答案:C 7.已知函数 f(x)是定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的偶函数,在(0,+∞)上单调递减,且 1 f(2) >0>f(- 3),则方程 f(x)=0 的根的个数为 A.0 B.1 C.2 D.3 () 解析:由于函数是偶函数,且在(0,+∞)上单调递减,因此在(-∞,0)上单调递增, 又因为 f(12)>0>f(- 3)=f( 3),所以函数 f(x)在(12, 3)上与 x 轴有一个交点,必在(- 3,-12)上也有一个交点,故方程 f(x)=0 的根的个数为 2. 答案:C 8.(2010·滨州模拟)定义在 R 上的奇函数 f(x)满足:当 x>0 时,f(x)=2008x+log2008x,则 方程 f(x)=0 的实根的个数为 . 解析:当 x>0 时,f(x)=0 即 2008x=-log2008x,在同一坐标系下分别画出函数 f1(x) =2008x,f2(x)=-log2008x 的图象(图略),可知两个图象只有一个交点,即方程 f(x)= 0 只有一个实根,又因为 f(x)是定义在 R 上的奇函数,所以当 x<0 时,方程 f(x)=0 也有一个实根,又因为 f(0)=0,所以方程 f(x)=0 的实根的个数为 3. 答案:3 题组三 函数的奇偶性与单调性的综合问题 9.定义在 R 上的偶函数 f(x),对任意 x1,x2∈ m(m>0)在区间上有四个不同的根 x1,x2,x3,x4, 上是增函数.若方程 f(x)= 则 x1+x2+x3+x4= . 解析:由 f(x-4)=-f(x)?f(4-x)=f(x), 故函数图象关于直线 x=2 对称, 又函数 f(x)在上是增函数,且为奇函数, 故 f(0)=0,故函数 f(x)在(0,2]上大于 0, 根据对称性知函数 f(x)在上单调递增,求实数 a 的取值范围. 解:(1)设 x<0,则-x>0, 所以 f(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x2-2x. 又 f(x)为奇函数,所以 f(-x)=-f(x), 于是 x<0 时,f(x)=x2+2x=x2+mx, 所以 m=2. (2)要使 f(x)在上单调递增, ?a ? 2> ? 1, 结合 f(x)的图象知 ??a ? 2 ≤ 1, 所以 1<a≤3,故实数 a 的取值范围是(1,3]. (理)已知定义域为 R 的函数 f(x)=-2x+21x++ab是奇函数. (1)求 a、b 的值; (2)若对任意的 t∈R,不等式 f(t2-2t)+f(2t2-k)<0 恒成立,求 k 的取值范围. 解:(1)因为 f(x)是 R 上的奇函数,所以 f(0)=0, -1+b -2x+1 即 2+a =0

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